Deck de cartes Anki (classées par chapitre) pour réviser le programme de mathématiques en CPGE (Classe Préparatoire aux Grandes Écoles d'ingénieur) en filière PCSI.
| Front | Donner le développement en série entière de \(x \mapsto (1+x)^\alpha\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}\). |
| Back | Le développement en série entière de \(x \mapsto (1+x)^\alpha\)est :\[(1+x)^\alpha=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n ~~\text{ avec }~~R=1~~\text{si }\alpha \notin \mathbb{N}\]Remarque : En effet si \(\alpha \in \mathbb{N}\), alors on retrouve la formule du binôme de Newton qui donne une somme finie en développant donc le rayon de convergence vaut alors \(R=+\infty\). |
| Front | Quelle est la nature de \(\displaystyle\int^{1}_0 \ln(t)\text{ d}t\) ?Justifier (même s'il s'agit d'un résultat de cours utilisable sans justification). |
| Back | L'intégrale \(\displaystyle\int^{1}_0 \ln(t)\text{ d}t\) converge.1ère méthode :En effet, on a \(|\ln(t)|=\mathcal{O}\left(\dfrac{1}{\sqrt{t}}\right)\)donc par comparaison à une intégrale de Riemman convergente, \(\ln\) est intégrable sur \(]0,1]\).2ème méthode :Une primitive de \(\ln\) est \(F : t \mapsto t \ln(t) - t\) sur \(]0,+\infty[\).Or \(\underset{t \rightarrow 0+}{\text{lim}}F(t)=0\) par croissances comparées, donc \(F\) admet une limite finie en \(0\) et on en déduit que l'intégrale \(\displaystyle\int^{1}_0 \ln(t)\text{ d}t\) converge. |
| Front | Etudier la convergence de \(\displaystyle\int^{+\infty}_0 \dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\text{ d}t\). |
| Back | On pose pour \(t \in ]0,+\infty[\), \(f(t)=\dfrac{\ln(t)}{1+t^2}\).\(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\) et en séparant l'intervalle d'étude en deux :Sur \(]0,1]\), on a :\[|f(t)|\underset{0}{\sim}\dfrac{|\ln(t)|}{1+0^2} \underset{0}{\sim} -\ln(t)\]Donc \(f\) est intégrable sur \(]0,1]\) puisque \(\ln\) l'est.Sur \([1,+\infty[\), on a :\[|f(t)| \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{\ln(t)}{t^2} \underset{+\infty}{=} \mathcal{O}\left(\dfrac{1}{t^{\frac{3}{2}}}\right)\]Ainsi, par comparaison à une intégrale de Riemann convergente, \(f\) est intégrable sur \([1,+\infty[\).Finalement \(f\) est intégrable sur \(]0,+\infty[\) donc l'intégrale converge. |