Deck de cartes Anki (classées par chapitre) pour réviser le programme de mathématiques en CPGE (Classe Préparatoire aux Grandes Écoles d'ingénieur) en filière PCSI.
| Front | Montrer que dans un ensemble de \(n+1\) entiers, il en existe toujours 2 dont la différence est un multiple de \(n\). |
| Back | Il y a \(n\) restes possibles dans la division euclidienne par \(n\).Par le principe des tiroirs, deux des \(n\) entiers de l’énoncé ont donc nécessairement le même reste dans la division euclidienne par \(n\), notons les \(a\) et \(b\).Alors \(a − b\) a un reste nul dans la division euclidienne par \(n\) et est donc un multiple de \(n\). |
| Front | Détermines les racines carrées de \(-12+16\textbf{i}\). |
| Back | On cherche une racine carrée sous la forme \(z=a+\mathbf{i}b\) tel que \(z^2 = -12+16\mathbf{i}\) , on a ainsi par identification :\[\left\lbrace\begin{array}{rcl} a^2-b^2 &=&-12\\ a^2+b^2 &= &\sqrt{12^2+16^2}=20\\ 2ab &=& 16 \end{array}\right.\]donc\[\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2a^2 &=&20-12=8\\ 2b^2 &=&20+12=32\\ ab &=& 8 \end{array}\right.\]et finalement\[\left\lbrace\begin{array}{rcl} a &=&\pm 2\\ b &=& \pm 4\\ ab &=& 8 > 0 \end{array}\right.\]Donc les deux racines carrées sont \(z=\pm(2+4\textbf{i})\). |
| Front | Soit \(z \in \mathbb{C}^\star\) et \(n \in \mathbb{N}\), donner le module et un argument de \(z^n\)en fonction de ceux de \(z\). |
| Back | On rappelle que :\[|z^n|=|z|^n\]et que :\[\text{arg}(z^n) \equiv n ~\text{arg}(z)~[2\pi]\] |