Complemento del capítulo 8 sobre el Espacio Vectorial Euclídeo. Continuación de otra mazo de tarjetas "Algebra Lineal 2 (UNED)" para el estudio de la asignatura Álgebra Lineal II del grado Matemáticas (UNED). Las tarjetas han sido creadas por el Equipo Docente de las asignatura (Roberto Canogar). La notación utilizada es la utilizada en el libro de texto de la asignatura: Título: ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA VECTORIAL 2ª edición, 2019 Autor/es: Beatriz Estrada;Alberto Borobia; Editorial: SANZ Y TORRES ISBN(13): 9788417765040.
| Front | ¿Qué es una matriz ortogonal? |
| Back | Damos tres definiciones equivalentes:Es una matriz cuadrada real \(A\) con inversa, y su inversa es igual a su traspuesta \(A^{-1}=A^t\).Es una matriz cuadrada real \(A\) tal que \(A^t A=I\).Es una matriz cuadrada real \(A\) tal que \(A A^t=I\). |
| Front | ¿Qué propiedad tienen las columnas de una matriz ortogonal? ¿Y sus filas? |
| Back | Si \(A\) es una matriz ortogonal de tamaño \(n\times n\):las columnas de \(A\) pueden considerarse vectores de \(\mathbb{R}^n\), y son una base ortonormal respecto del producto escalar usual de \(\mathbb{R}^n\);las filas de \( A \) también son una base ortonormal. Recordemos que producto escalar usual o canónico de \(\mathbb{R}^n\) es \(\langle (x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \rangle= x_1\cdot y_1 +\cdots +x_n\cdot y_n\). |
| Front | ¿Cómo se calcula el producto vectorial de dos vectores \(v=(v_1, v_2, v_3)_{\mathcal{B}}\) y \(w=(w_1, w_2, w_3)_{\mathcal{B}}\) en una base \(\mathcal{B}\) ortonormal positivamente orientada? |
| Back | Tradicionalmente se utiliza \(i, j, k\) para representar los vectores \((1,0,0)_\mathcal{B}\), \((0,1,0)_\mathcal{B}\) y \((0,0,1)_\mathcal{B}\) respectivamente:\[\begin{align} \begin{psmallmatrix}v_1&v_2&v_3 \end{psmallmatrix}_{\mathcal{B}}\wedge \begin{psmallmatrix}w_1&w_2&w_3 \end{psmallmatrix}_{\mathcal{B}} &=\det\begin{psmallmatrix}i&j&k \\v_1&v_2&v_3 \\w_1&w_2&w_3 \end{psmallmatrix}\\ &= i\cdot\det\begin{psmallmatrix}v_2&v_3\\ w_2&w_3 \end{psmallmatrix} -j\cdot\det\begin{psmallmatrix}v_1&v_3\\ w_1&w_3 \end{psmallmatrix} +k\cdot\det\begin{psmallmatrix}v_1&v_2\\ w_1&w_2 \end{psmallmatrix}\\ &= \Big(\det\begin{psmallmatrix}v_2&v_3\\ w_2&w_3 \end{psmallmatrix},\ \ -\det\begin{psmallmatrix}v_1&v_3\\ w_1&w_3 \end{psmallmatrix},\;\ \det\begin{psmallmatrix}v_1&v_2\\ w_1&w_2 \end{psmallmatrix} \Big)_\mathcal{B}. \end{align}\] |