| Vorderseite | Ordnungsrelation |
| Rückseite | In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der „kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation\({\displaystyle R\subseteq M\times M}\)auf einer Menge \({\displaystyle M}\) mit bestimmten Eigenschaften, worunter immer die Transitivität ist.Ist eine Menge \({\displaystyle M}\) mit einer Ordnungsrelation \({\displaystyle R}\) gegeben, dann nennt man das Paar \({\displaystyle (M,R)}\) eine geordnete Menge. Meist bevorzugt man an Stelle der Schreibweise \({\displaystyle (a,b)\in R}\) die sogenannte Infix-Notation \({\displaystyle a\,R\,b}\).Außerdem wird für Ordnungsrelationen in den seltensten Fällen ein Symbol wie \({\displaystyle R}\) verwendet. Stattdessen verwendet man häufig Symbole wie \({\displaystyle \leq }\),\({\displaystyle \preceq }\) oder ähnliche. Die Schreibweise \({\displaystyle a<b}\) verwendet man als Abkürzung für „\({\displaystyle a\leq b}\) und \({\displaystyle a\neq b}\)“. Dies erweist sich als zweckmäßig, da für Relationen größtenteils Rechenregeln gelten, die denen in \({\displaystyle \mathbb {R} }\) (mit gewohntem „\({\displaystyle \leq }\)“) entsprechen. |
| Tags | Menge Ordnungstheorie Relation |
| Vorderseite | Bruchrechnung: Gemeine Brüche |
| Rückseite | Gemeine Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von Zähler und Nenner, getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt:\({\displaystyle {\frac {Z}{N}}}\)Zähler und Nenner eines Bruches sind ganze Zahlen. Dabei darf der Nenner \({\displaystyle N}\) nicht null sein, da eine Division durch Null nicht definiert ist.Jeder Bruch kann nämlich auch als Divisionsaufgabe verstanden werden. Dabei ist der Zähler \({\displaystyle Z}\) der Dividend, der Nenner \({\displaystyle N}\) der Divisor:\({\displaystyle Z:N={\frac {Z}{N}}}\)Das Entscheidende bei der Bruchrechnung ist, dass hier jede Division (außer durch null) möglich ist und ein einfach darstellbares Ergebnis hat, während ja im Bereich der ganzen Zahlen die Teilbarkeitsregeln gelten.Üblicherweise werden für Zähler und Nenner natürliche Zahlen verwendet und ein eventuell vorhandenes negatives Vorzeichen wird vor den Bruch gesetzt, also beispielsweise \({\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}}\) statt \({\displaystyle {\tfrac {-3}{4}}}\) oder \({\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}}\). Sind Zähler und Nenner negativ, so bezeichnet das nach den Regeln der Division von ganzen Zahlen den positiven Bruch: \({\displaystyle {\tfrac {-3}{-4}}={\tfrac {3}{4}}}\)Bei einer Variante dieser Schreibweise, die oft verwendet wird, wenn gemeine Brüche in Texten vorkommen, werden Zähler, Bruchstrich und Nenner hintereinandergeschrieben und als Bruchstrich ein Schrägstrich verwendet,[2] zum Beispiel 1/2, 3/8. Bei der Schreibweise mit Schrägstrich an Stelle des waagrechten Bruchstrichs werden (vor allem) einstellige Zähler und Nenner manchmal verkleinert über bzw. unter den Schrägstrich geschrieben: 6/7. Zu diesem Zweck existieren in vielen Druckzeichensätzen Sonderzeichen, wie zum Beispiel ¾ oder ½. |
| Tags | Bruchrechnung |
| Vorderseite | Bruchrechnung: Echte und unechte Brüche |
| Rückseite | Wenn bei einem Bruch der Betrag des Zählers kleiner als der des Nenners ist, dann spricht man von einem echten oder eigentlichen Bruch (z. B. \({\displaystyle {\tfrac {6}{7}}}\) oder \({\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}\)), andernfalls von einem unechten oder uneigentlichen Bruch (z. B. \({\displaystyle {\tfrac {7}{7}}}\) oder \({\displaystyle {\tfrac {11}{3}}}\)).Echte Brüche sind also die, deren Betrag kleiner ist als ein Ganzes. |
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